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Estudiamos algunas propiedades del anillo idempotente.

Enunciado
Boho Genuino Made Vera Mujer bolso In Color Hombro Gris bolso Azul Italiana 28x36x18 cierre bolso Artegiani Piel Bolso Firenze Pelle Auténtica Cuero Cordón Cm Italy Mujer Ajustable faq6Hnx Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo idempotente, es decir un anillo que satisface $x^2=x$ para todo $x\in A.$
1. Demostrar que el anillo es conmutativo.
2. Estudiar la ley interna sobre $A$ definida por $x*y=x+y+xy$.
3. Demostrar que $x\leq y\Leftrightarrow xy=x$ es una relación de orden sobre $A$.
4. ¿Existe elemento mínimo en $(A,\leq)$?

Solución
1. Como el anillo es idempotente, se verifica $(x+y)^2=x+y\;\;\forall{x}\forall{y}\in A$. Entonces:

$\displaystyle\begin{aligned}
Mochila Hung Única Kai Mujer Para Morado Talla Bolso q67rw7ER (x+y)^2&=(x+y)(x+y)\\
&=x^2+xy+yx+y^2\\
&=x+xy+yx+y\\
&\Rightarrow x+y=x+xy+yx+y\\
&\Rightarrow xy+yx=0\\
&\Rightarrow xy=-yx.
\end{aligned}$

Para todo $u\in A$ y haciendo $x=y=u$, la última igualdad se transforma en $u^2=-u^2$ o de forma equivalente, $u=-u$, lo cual implica que $xy=yx$ para todo $x,y$ elementos de $A$. Concluimos que el anillo es conmutativo.

2. Para todo $x,y,z$ elementos de $A:$

$\displaystyle\begin{aligned}
(x*y)*z&=(x+y+xy)*z\\
&=x+y+xy+z+xz+yz+xyz,
\end{aligned}$

$\displaystyle\begin{aligned}
x*(y*z)&=x*(y+z+yz)\\
&=x+y+z+yz+xy+xz+xyz.
\end{aligned}$De Embrague Black Fiesta color Vestido Jessiekervin Con Boda Bolso Silver Noche Cuentas RqHHO5w7

Es decir, la operación $*$ es asociativa. Para todo $x,y$ elementos de $A$ y teniendo en cuenta que el anillo es conmutativo:

$x*y=x+y+xy=y+x+yx=y*x,$

lo cual implica que la operación $*$ es conmutativa. Para todo $x\in A:$

$x*0=0*x=x+0+0x=x.$

Es decir, $0$ es elemento neutro de $*$. Sea ahora $x\in A$ y supongamos que tiene elemento simétrico $x’$ con respecto de la operación $*$. Esto implica que $x*x’=x’*x=0$ o equivalentemente $x*x’=0$ por la propiedad conmutativa. Entonces, usando que $u=-u:$

$\displaystyle\begin{aligned}
x*x’=0&\Rightarrow x+x’+xx’=0\\
& \Rightarrow x(x+x’+xx’)=x0\\
& \Rightarrow x^2+xx’+x^2x’=0\\
& \Rightarrow x+xx’+xx’=0\\
& \Rightarrow x=0.
\end{aligned}$

Es decir, el único elemento que tiene simétrico, respecto de la operación $*$ es su neutro. Concluimos que $(A,*)$ es un semigrupo conmutativo con elemento neutro.

3. Para todo $x\in A$ se verifica $xx=x^2=x$, y por tanto $x\leq x$, es decir se cumple la propiedad reflexiva. Usando que el anillo es conmutativo:

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$\left \{ \begin{matrix}x\leq y\\ y\leq x\end{matrix}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix}xy=x\\ yx=y\end{matrix}\right. \Rightarrow x=y.$

Se cumple por tanto la propiedad antisimétrica. Por otra parte

$\left \{ \begin{matrix}x\leq y\\ y\leq z\end{matrix}\right. \Rightarrow \left \{ \begin{matrix}xy=x\\ yz=y\end{matrix}\right. \Rightarrow xyz=x \Rightarrow xz=z \Rightarrow x\leq z,$

es decir, se cumple la propiedad transitiva. Concluimos que $\leq$ es relación de orden sobre $A$.

4. Para todo $x\in A$ se verifica $0x=0$ o de forma equivalente $0\leq x$ para todo $x\in A$. Por tanto $0$ es elemento mínimo en $(A,\leq)$.

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